Misurare la costante dielettrica πœΊπ’“ di G10, FR4, Poliestere o Teflon con un generatore RF e un buon bolometro.
Si vuole misurare la costante dielettrica πœ€π‘Ÿ(πœ”πœ”), anche chiamata Dk, di un substrato con una buona precisione.
In letteratura esistono molti sistemi standardizzati, ciascuno con i propri pro e contro.
β€’ IPC (https://www.ipc.org) ha 13 diversi metodi per valutare Dk e Df, anche chiamato tan(Ξ΄).
β€’ ASTM (https://www.astm.org) e NIST (https://www.nist.gov) hanno parecchi metodi di prova.
β€’ Molti OEM e UniversitΓ  hanno i loro personali metodi di misura.
β€’ I risultati di un tipo di test possono non correlarsi bene con i risultati di un altro metodo, utilizzando esattamente lo stesso materiale.
β€’ Non esiste alcun Metodo Perfetto di Prova.
Allo scopo di misurare πœ€π‘Ÿ(πœ”), si Γ¨ deciso di utilizzare:
β€’ la tecnologia microstrip, che poi Γ¨ quella che, nella realtΓ  progettuale, verrΓ  impiegata per la realizzazione di filtri e di adattamenti di impedenza.
β€’ una geometria β€œchiusa”, facilmente replicabile e dalle misure dimensionali certe: l’O-Ring. CiΓ² per evitare fenomeni di fringe effect che rendono incerta la misura delle dimensioni effettive e aumentano le dispersioni per irradiazione.
β€’ Per la tipologia delle porte di ingresso e d’uscita, il β€œgap”, che Γ¨ in grado di caricare molto poco il circuito, garantendo il miglior Q disponibile e assicurando dei β€œdip” di risonanza molto netti e nettamente riproducibili, introducendo perΓ² come contropartita una certa attenuazione del segnale (da ~-27dB a ~-16dB).
Questo metodo non consente perΓ² di misurare il fattore di dissipazione tan(Ξ΄) = Df.
1) La permittivitΓ .
La permittivitΓ  Γ¨ una grandezza fisica che descrive il comportamento di un materiale dielettrico in presenza di un campo elettrico. In particolare Γ¨ la misura di quanto le molecole si oppongano al campo elettrico esterno.
La permittivitΓ  caratterizza la propagazione dei campi elettrici.
Il valore del campo elettrico a distanza r, dovuto ad una singola carica di valore q, vale:
1.1 |𝐸𝐸|=π‘žπ‘ž4πœ‹πœ‹πœ€πœ€0π‘Ÿπ‘Ÿ2
dove πœ€πœ€0= 8.854β‹…10βˆ’12 Farads/metro ed Γ¨ la permittivitΓ  del vuoto (cioΓ¨ in totale assenza di atomi). All’interno di qualsiasi materiale, le molecole si oppongono al campo elettrico che si modifica secondo la formula:
1.2 |𝐸𝐸|=π‘žπ‘ž4πœ‹πœ‹πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπœ€πœ€0π‘Ÿπ‘Ÿ2
CioΓ¨ viene aggiunto un termine πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ (numero adimensionale, sempre maggiore di 1 che rende il campo elettrico E minore di quello che sarebbe nel vuoto. In totale
1.3 Ξ΅ = πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπœ€πœ€0
Il termine πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ prende il nome di costante dielettrica.
La permittivitΓ  relativa ha due componenti, una reale e una immaginaria:
1.4 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿβ€™ – jπœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿβ€
πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿβ€™ Γ¨ associata alla costante dielettrica e πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿβ€ Γ¨ associata al fattore di dissipazione (Df) del materiale.
1.5 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = Dk = πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿβ€™/πœ€πœ€0
1.6 tan(Ξ΄) = Df = πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿβ€/ πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿβ€™
La Rogers (azienda produttrice di substrati per PCB) insegna che da circa 100 MHz a 300 GHz la maggior parte delle interazioni fra il campo elettrico ed il materiale del substrato sono dovute essenzialmente allo spostamento e alla rotazione dei dipoli elementari all’interno del substrato (vedi https://www.e-doodles.it/en/practical-measurements-of-dielectric-constant-and-loss-for-pcb-materials-at-high-frequency/)
β€’ Lo spostamento dei dipoli contribuisce al termine πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ (Dk)
β€’ Gli attriti molecolari dovuti alla rotazione dei dipoli contribuiscono al termine tan(Ξ΄) o Df.
2) Microstrip
La linea di trasmissione in microstrip fa parte delle tecnologie di tipo planare e presenta una semplicitΓ  di fabbricazione ed economicitΓ  che molto spesso fa preferire questa tecnologia ad altre tecnologie di trasmissione del segnale piΓΉ efficienti da un punto di vista della potenza e meno affette da problemi di dispersione, come la guida d’onda e la stripline.
La struttura della microstrip Γ¨ quella di un normale circuito stampato. Si basa su di un substrato dielettrico di spessore h, costante dielettrica πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ e fattore di perdita tan(Ξ΄). Il lato inferiore del substrato Γ¨ ricoperto da un piano di massa mentre il lato superiore Γ¨ caratterizzata dalla presenza di una linea di spessore t, larghezza w e lunghezza L.
Lo studio delle caratteristiche del campo elettromagnetico Γ¨ complicato dalla presenza di due dielettrici diversi: il substrato e l’aria. Le linee del campo elettrico non rimangono all’interno della linea sul lato superiore del PCB ma si propagano anche nell’aria.
Fig. 2.1 –Due costanti dielettriche diverse: πœ€πœ€0 per l’aria e Ξ΅ = πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπœ€πœ€0 per il substrato
Introduciamo allora un termine πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ chiamato permittivitΓ  effettiva che ci consente di immaginare i conduttori come immersi in un mezzo omogeneo, quindi atto a supportare un modo di propagazione TEM.
A seconda dei valori di w e di t la permittivitΓ  effettiva assume sempre valori compresi nell’intervallo
2.1 1<πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ<πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ e dipende ovviamente anche dal tipo di substrato impiegato. Infatti questa permittivitΓ  effettiva Γ¨ legata alla permittivitΓ  del substrato come descritto qui: 2.2 πœ€πœ€π‘’ 𝑒 =τ€΅€πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ+12+πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿβˆ’12𝐾𝐾τ€΅¨ dove 2.3 𝐾𝐾=1τ€Ά§1+12β„Žπ‘€π‘€ e vale per w>h.
Inversamente, (questa formula ci verrΓ  utile dopo):
2.4 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ=2πœ€πœ€π‘’π‘’π‘’π‘’π‘’π‘’+π‘˜π‘˜βˆ’11+π‘˜π‘˜
La teoria e la pratica ci dimostrano che πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ scende al salire della frequenza, cioΓ¨ esiste una funzione πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ(πœ”πœ”), anche se diversa da substrato a substrato (ad esempio, variazioni piΓΉ ripide per l’FR4, molto, molto meno per il teflon).
Fig. 2.2 Andamento di Dk (πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ) per frequenze da 0.1GHz a 10GHz (Rogers) del laminato RO4003C 20mil (0.508mm)
La funzione πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ(πœ”πœ”) diventa molto importante per dimensionare adeguatamente filtri a microonde e linee di adattamento.
3) – Il resonator ring
Allo scopo di misurare lβ€™πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ(πœ”πœ”) di un PCB si puΓ² ricorrere a moltissimi sistemi, (ce ne sono in giro almeno una ventina), ciascuno con pregi e difetti. In questo caso, volendo misurare la costante dielettrica (o meglio le sue variazioni) fra i 2 e i 10GHz, si Γ¨ optato per un resonator ring (risuonatore ad anello), molto semplice da costruire e sicuramente affidabile. Il segnale viene iniettato e prelevato mediante due brevissime interruzioni (gap) nelle piste del circuito stampato, introdotte per evitare di β€œappesantire” il circuito risonante e spostarne la frequenza di risonanza.
β€’ L’assenza di interruzioni (essendo un anello chiuso), consente di eliminare una buona parte degli effetti dovuti ai bordi (il famigerato β€œfringe effect”).
β€’ I risuonatori ad anello hanno una perdita per radiazione minima o del tutto trascurabile, cosΓ¬ lβ€™πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ puΓ² essere calcolato in modo piΓΉ preciso.
‒ I risultati si riferiscono ad ambiti di banda (risonanza) molto ristretti; si evitano così i problemi relativi ai modi spuri.
Fig. 3.1 – Immagine del file Gerber del resonator ring da 40mm di diametro, gap da 0.4mm
Si Γ¨ utilizzato un substrato certamente in teflon, ma di produttore incerto, quindi con scarse informazioni sui suoi parametri elettrici. Lo spessore del dielettrico era di 0.75mm e il rame deposto sulle due facce aveva uno spessore di 35micron. Essendo teflon, un buon valore di partenza per la costante dielettrica πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ Γ¨ 2.1-2.5.
Fig. 3.2 – L’O-ring realizzato su substrato di teflon
L’O-ring misura esattamente 40mm di diametro al centro della linea, larga 2.29mm e presenta due porte poste a 180Β°. La larghezza della linea Γ¨ dovuta all’assunzione che il teflon abbia una πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ di 2.3 che con lo spessore di 0.75mm del substrato darebbe luogo ad una impedenza di 50ohm. Ma anche se lβ€™πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ fosse leggermente diverso, la risonanza e quindi il calcolo di πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ non produrrebbero errori leggibili.
L’anello risuonerΓ  (il parametro 𝑆𝑆21 avrΓ  dei picchi di risposta) a multipli di lambda, dove lambda Γ¨ la lunghezza d’onda corrispondente alla circonferenza dell’anello.
Applicando il segnale ad una delle porte e un bolometro all’altra (o collegando il resonator ring ad un VNA), alla prima di queste frequenze (n=1) il segnale si divide, percorre i due tratti e si ricongiunge sulla porta di uscita sommandosi in fase. A questa frequenza 𝑆𝑆21 raggiunge il massimo valore. Man mano la frequenza sale il valore del segnale in uscita scende drasticamente (i due segnali non giungono piΓΉ in fase), finchΓ© ci si avvicina alla seconda frequenza (n=2) dove riprende a salire e raggiunge un altro massimo. CiΓ² si ripete sino al raggiungimento della terza frequenza (n=3), e cosΓ¬ via.
Quali sono queste frequenze?
Se la costante dielettrica del substrato fosse 1:
3.1 𝑙𝑙=π‘›π‘›πœ†πœ†
3.2 da cui πœ†πœ†=𝑙𝑙𝑛𝑛
3.3 ma πœ†πœ†=𝐢𝐢0𝑓
3.4 quindi, dalla 3.2 e dalla 3.3 𝑓𝑓𝑛𝑛=𝑛𝑛𝐢𝐢0𝑙𝑙
Nel caso specifico abbiamo che
𝐢𝐢0= 2.99792458Γ—108m/s (velocitΓ  della luce nel vuoto)
𝑙𝑙 = 0.12566m (40mm x 3.14)
Quindi abbiamo (per n = 1 -> 6)
n=1 𝑓𝑓1= 2.386GHz
n=2 𝑓𝑓2=4.771GHz
n=3 𝑓𝑓3=7.157GHz
n=4 𝑓𝑓4= 9.543GHz
n=5 𝑓𝑓5= 11.928GHz
n=6 𝑓𝑓6= 14.314GHz
Queste sono le frequenze di risonanza relative ad un substrato con πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = 1.
In realtΓ  sappiamo che, ovviamente, πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ non Γ¨ uguale a 1.
Allora, utilizzando un generatore ed un bolometro che coprano tutta la gamma di nostro interesse e collegandoli alle due porte (non ha importanza in quale ordine), si va alla ricerca del primo (n=1) massimo di 𝑆𝑆21. Trovata questa frequenza la si raddoppia e si va a misurare il punto esatto di 𝑆𝑆21, vicino a questa frequenza quasi doppia (n=2). PerchΓ© quasi?
Quasi doppia proprio perchΓ© πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ diminuisce all’aumentare della frequenza e quindi i massimi degli 𝑆𝑆21 si spostano. E poi le successive (la tripla, ecc).
Con il teflon questo scostamento Γ¨ veramente minimo, piΓΉ o meno dello stesso valore degli errori introdotti con questo metodo di misura. Quindi sarΓ  molto difficile rendersene conto, ancor piΓΉ misurarlo. Con G10 e FR4 il fenomeno sarΓ  molto piΓΉ visibile e certamente misurabile.
Fig. 3.3 – I sei picchi di risonanza
Con l’O-ring mostrato in figura 3.2 le risonanze sono state trovate a queste frequenze:
n=1 𝑓𝑓1= 1.631GHz
n=2 𝑓𝑓2= 3.261GHz
n=3 𝑓𝑓3= 4.889GHz
n=4 𝑓𝑓4= 6.515GHz
n=5 𝑓𝑓5= 8.115GHz
n=6 𝑓𝑓6= 9.722GHz
Per mettere queste ultime in relazione con le frequenze nominali calcolate prima osserviamo che:
3.5 πœ†πœ†0=𝐢𝐢0𝑓 0
3.6 πœ†πœ†0=𝐢𝐢0𝑓 τ€Ά₯πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ π‘Ÿ π‘Ÿ
3.7 se ne deduce che 𝑓𝑓0=𝑓𝑓τ€Ά₯πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ
3.8 quindi πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ=τ‰†π‘“π‘“π‘œπ‘œ(𝑛𝑛)𝑓𝑓𝑛𝑛τ‰‡2
Quindi:
n π‘“π‘“π‘œπ‘œ(𝑛𝑛) 𝑓𝑓𝑛𝑛 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ
n=1 𝑓𝑓01= 2.386GHz 𝑓𝑓1= 1.631GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.140
n=2 𝑓𝑓02= 4.771GHz 𝑓𝑓2= 3.261GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.141
n=3 𝑓𝑓03= 7.157GHz 𝑓𝑓3= 4.889GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.143
n=4 𝑓𝑓04= 9.543GHz 𝑓𝑓4= 6.515GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘’ 𝑓 = 2.145
n=5 𝑓𝑓05= 11.928GHz 𝑓𝑓5= 8.115GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.161
n=6 𝑓𝑓06= 14.314GHz 𝑓𝑓6= 9.722GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.168
Ultimo passaggio: utilizzando la 2.3 e la 2.4 otterremo finalmente i nostri πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ(πœ”πœ”).
n=1 𝑓𝑓01= 2.386GHz 𝑓𝑓1= 1.631GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.140 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = 2.58
n=2 𝑓𝑓02= 4.771GHz 𝑓𝑓2= 3.261GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.141 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = 2.59
n=3 𝑓𝑓03= 7.157GHz 𝑓𝑓3= 4.889GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.143 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = 2.59
n=4 𝑓𝑓04= 9.543GHz 𝑓𝑓4= 6.515GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.145 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = 2.59
n=5 𝑓𝑓05= 11.928GHz 𝑓𝑓5= 8.115GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.161 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = 2.61
n=6 𝑓𝑓06= 14.314GHz 𝑓𝑓6= 9.722GHz πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ = 2.168 πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ= 2.62
πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ Γ¨ stato approssimato alle prime due cifre dopo la virgola, che, per il metodo usato, sono da considerarsi piΓΉ che soddisfacenti. Alla fine, direi che l’assunzione:
πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ = 2.6
corrisponde al vero per la gamma -piΓΉ che soddisfacentemente ampia- che va da 1GHz sino ai 10GHz.
Da notare che lβ€™πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ Γ¨ la costante dielettrica globale e vera, quella cioΓ¨ che tiene conto del fatto che la propagazione in effetti avviene in parte nel dielettrico ed in parte nell’aria che sta sopra la microstrip, zona con πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ= 1.
4. Conclusioni
Riassumo:
β€’ Si realizza un circuito stampato del tipo mostrato in fig. 3.1. La misura del diametro puΓ² variare fra i 20 e gli 80 millimetri, coprendo le frequenze piΓΉ basse attorno al GHz e quelle piΓΉ alte, attorno ai 20GHz.
β€’ Si calcolano le n frequenze alle quali il circuito risuona.
β€’ Si eseguono le misure con un buon bolometro. Sono misure di massimo relativo, non serve misurare il valore assoluto in dB. L’uso di un VNA (Vector Network Analyser) produce delle misure piΓΉ precise, anche a causa dei valori di segnale piuttosto bassi determinati dall’attenuazione introdotta dai due β€œgap”. Questi gap devono perΓ² essere forzatamente utilizzati per mantenere un Q sufficientemente alto e quindi una risonanza sufficientemente stretta.
β€’ Da queste letture e dai valori di frequenza precedentemente calcolati si calcolano i valori πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ.
β€’ Dai valori di πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘Ÿ si calcolano i corrispondenti valori di πœ€πœ€π‘Ÿπ‘Ÿ.
β€’ Viene fornito il file Gerber per realizzare un o-ring di 40mm su teflon.
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